L`algorithme Newton-Raphson nécessite l`évaluation de deux fonctions (la fonction et son dérivé) par itération. Ainsi p = 1 + 5 2 ≈ 1. Algorithme (méthode sécante). La méthode de sécante ne nécessite pas que la racine reste entre crochets, comme la méthode de bissection fait, et donc il ne converge pas toujours. Ensuite, considérons simplement le numérateur dans (1). Puis f (x 0) = f (2) =-1 et f (x1) = f (3) = 4. Si, alors il existe un tel que la séquence définie par l`itération pour convergera vers pour certaines approximations initiales. Exemple 1. Bigg (} {frac {{frac {f (x_ {n})} {E_ {n}}}-{frac {f (x_ {n-1})} {E_ {n-1}}}} {f (x_ {n})-f (x_ {n-1})}} {Bigg)} end{Aligned}}}.
L`appel de sous-routine suivant utilise un maximum de 20 itérations, juste pour vous assurer que suffisamment d`itérations sont exécutées. Travailler avec la méthode SECANT ici Remarque: quelques exemples de la façon d`entrer des équations sont donnés ci-dessous. L`algorithme de méthode de sécante nécessite la sélection de deux approximations initiales x 0 et x 1, qui peuvent ou ne peuvent pas le support de la racine souhaitée, mais qui sont choisis raisonnablement proche de la racine exacte. La fonction f (x) = sin x + x e x {displaystyle f (x) = sin x + XE ^ {x}} a une racine comprise entre-3 et-4. La méthode Regula-falsi commence par les deux approximations initiales «a» et «b» telles qu`un < s < b où s est la racine de f (x) = 0. Étant donné que S n {displaystyle s_ {n}} et S n − 1 p − 1 {displaystyle s_ {n-1} ^ {p-1}} sont des constantes et Lim n → ∞ e n = 0 {displaystyle lim _ {nto infty} E_ {n} = 0} (en supposant une convergence) nous devons avoir p 2 − p − 1 = 0 {displaystyle p ^ {2}-p-1 = 0}. Ensuite, rappelons que nous avons la convergence de l`ordre p quand Lim n → ∞ | x n + 1 − x | | x n − x | p = Lim n → ∞ | e n + 1 | | e n | p = μ {displaystyle lim _ {nto infty} {frac {leftvert {x_ {n + 1}-x} rightvert} {leftvert {x_ {n}-x} rightvert ^ {p}}} = lim _ {nto infty} {frac {leftvert {E_ {n + 1}} rightvert} {leftvert {E_ {n}} rightvert ^ {p}}} = mu} pour une constante μ > 0 {displaystyle mu > 0}. Si nous comparons la méthode de Newton avec la méthode sécante, nous voyons que la méthode de Newton converge plus vite (ordre 2 contre φ ≈ 1.
Nous utilisons ensuite cette nouvelle valeur de x comme x2 et répétons le processus, en utilisant x1 et x2 au lieu de 0 et 0 et x1. Nous connaissons 5 = 2. D`autre part, la méthode de sécante commence par deux approximations initiales x 0 et x1 (elles ne peuvent pas être associées à la racine), puis calcule le x2 par la même formule que dans la méthode Regula-falsi, mais procède à l`itération suivante sans se soucier du bracketing des racines. En particulier, la convergence est superlinéaire, mais pas tout à fait quadratique. Toutefois, il se terminera lorsque la différence entre les itérations consécutives est inférieure à. Utilisez la méthode sécante pour trouver les trois racines du polynôme cubique. Historiquement, le calcul d`un dérivé pourrait impliquer un effort considérable. Nous continuons ce processus, la résolution pour x3, x4, etc. La formule de la méthode de sécante est la même que celle qui a été utilisée dans la méthode Regula falsi, sauf que les décisions logiques concernant la façon de définir chaque terme subséquent sont différentes.
Ensuite, nous avons: | e n + 1 | | e n | | e n − 1 | = S n S n − 1 p | e n − 1 | p 2 S n − 1 | e n − 1 | p | e n − 1 | = S n S n − 1 p − 1 | e n − 1 | p 2 − p − 1 {displaystyle {frac {leftvert {E_ {n + 1}} rightvert} {leftvert {E_ {n}} rightvert leftvert {E_ {n-1}} rightvert}} = {frac {s_ {n} s_ {n-1} ^ {p} leftvert {E_ {n-1}} rightvert ^ {p ^ {2}}} {s_ {n-1} leftvert {E_ {n-1}} rightvert ^ {p} leftvert {E_ {n-1}} rightvert}} = s_ {n} s_ {n-1} ^ {p-1} leftvert {E_ {n-1}} rightvert ^ {p ^ {2}-p-1}}. Cela signifie que la méthode de position fausse converge toujours. Le graphique suivant montre la fonction f en rouge et la dernière ligne sécante en bleu gras. La vérification des erreurs peut être ajoutée à la méthode de sécante. Mais, avec des progiciels modernes d`algèbre d`ordinateur tels que Mathematica, ceci est devenu moins d`un problème. Réduisez le volume d`impression. Dans la deuxième itération, f (x1) = 4, f (x2) =-0.